题目内容
【题目】已知函数f(x)=|2x+ |+a|x﹣
|.
(Ⅰ)当a=﹣1时,解不等式f(x)≤3x;
(Ⅱ)当a=2时,若关于x的不等式2f(x)+1<|1﹣b|的解集为空集,求实数b的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)当a=﹣1时,不等式f(x)=|2x+ |﹣|x﹣
|≤3x,
等价于 ①;或
②;或
.
解①求得﹣ ≤x<﹣
,解②求得﹣
≤x<
,解③求得x≥
,
故原不等式的解集为{x|x≥﹣ }.
(Ⅱ)当a=2时,若关于x的不等式2f(x)+1<|1﹣b|,即 2(|2x+ |+2|x﹣
|)+1<|1﹣b|,
即|4x+1|+|4x﹣6|+1<|1﹣b|.
由于|4x+1|+|4x﹣6|≥|(4x+1)﹣(4x﹣6)|=7,∴|1﹣b|>7+1的解集为,即|1﹣b|≤8恒成立,
∴﹣8≤b﹣1≤8,即﹣7≤b≤9,即要求的实数b的取值范围为[﹣7,9]
【解析】(Ⅰ)当a=﹣1时,不等式f(x)=|2x+ |﹣|x﹣
|≤3x,再等价转化为与之等价的三个不等式组,求出每个不等式组的解集,再取并集,即得所求.(Ⅱ)当a=2时,由题意可得,|1﹣b|>7+1的解集为,即|1﹣b|≤8恒成立,即﹣8≤b﹣1≤8,由此求得实数b的取值范围.
【考点精析】掌握绝对值不等式的解法是解答本题的根本,需要知道含绝对值不等式的解法:定义法、平方法、同解变形法,其同解定理有;规律:关键是去掉绝对值的符号.
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