题目内容
【题目】已知等比数列{an}满足a1=2,a2=4(a3﹣a4),数列{bn}满足bn=3﹣2log2an .
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)令cn= ,求数列{cn}的前n项和Sn;
(3)若λ>0,求对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2>a2nbn成立的k的取值范围.
【答案】
(1)解:设等比数列{an}的公比为q,∵a1=2,a2=4(a3﹣a4),
∴a2=4a2(q﹣q2),化为:4q2﹣4q+1=0,解得q= .
∴an= =22﹣n.
∴bn=3﹣2log2an=3﹣2(2﹣n)=2n﹣1
(2)解:cn= =
=
.
∴数列{cn}的前n项和Sn= [2+322+5×23+…+(2n﹣1)2n],
∴2Sn= [22+323+…+(2n﹣3)2n+(2n﹣1)2n+1],
∴﹣Sn= =
,
可得:Sn=
(3)解:不等式2λ2﹣kλ+2>a2nbn,即2λ2﹣kλ+2>22﹣2n(2n﹣1),
令dn=22﹣2n(2n﹣1),则dn+1﹣dn= ﹣
=
=
<0,
因此dn+1<dn,即数列{dn}单调递减,因此n=1时dn取得最大值d1=1.
∵对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2>a2nbn成立,
∴2λ2﹣kλ+2>1,∵λ>0.
∴k<2 ,∵2
≥2
=2
,当且仅当λ=
时取等号.
∴ .
即k的取值范围是
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,根据a1=2,a2=4(a3﹣a4),可得a2=4a2(q﹣q2),化简解得q.可得an . 利用对数的运算性质可得bn . (2)cn= =
=
.利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出.(3)不等式2λ2﹣kλ+2>a2nbn , 即2λ2﹣kλ+2>22﹣2n(2n﹣1),令dn=22﹣2n(2n﹣1),通过作差可得:dn+1<dn , 即数列{dn}单调递减,因此n=1时dn取得最大值d1=1.根据对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2>a2nbn成立,可得2λ2﹣kλ+2>1,根据λ>0.可得k<2
,再利用基本不等式的性质即可得出.
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