Question

【题目】△ABC的三个内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，R是△ABC的外接圆半径，有下列四个条件： ①（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab
②sinA=2cosBsinC
③b=acosC，c=acosB
④
有两个结论：甲：△ABC是等边三角形．乙：△ABC是等腰直角三角形．
请你选取给定的四个条件中的两个为条件，两个结论中的一个为结论，写出一个你认为正确的命题 ．

Answer 1

【答案】（1）（2）→甲或（2）（4）→乙或（3）（4）→乙
【解析】解：由（1）（2）为条件，甲为结论，得到的命题为真命题，理由如下： 证明：由（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab，变形得：
a2+b2+2ab﹣c2=3ab，即a2+b2﹣c2=ab，
则cosC= = ，又C为三角形的内角，
∴C=60°，
又sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，
即sinBcosC﹣cosBsinC=sin（B﹣C）=0，
∵﹣π＜B﹣C＜π，
∴B﹣C=0，即B=C，
则A=B=C=60°，
∴△ABC是等边三角形；
以（2）（4）作为条件，乙为结论，得到的命题为真命题，理由为：
证明：化简得：sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，
即sinBcosC﹣cosBsinC=sin（B﹣C）=0，
∵﹣π＜B﹣C＜π，
∴B﹣C=0，即B=C，
∴b=c，
由正弦定理 = = =2R得：
sinA= ，sinB= ，sinC= ，
代入 得：
2R（ ﹣ ）=（ a﹣b） ，
整理得：a2﹣b2= ab﹣b2 ， 即a2= ab，
∴a= b，
∴a2=2b2 ， 又b2+c2=2b2 ，
∴a2=b2+c2 ，
∴∠A=90°，
则三角形为等腰直角三角形；
以（3）（4）作为条件，乙为结论，得到的命题为真命题，理由为：
证明：由正弦定理 = = =2R得：
sinA= ，sinB= ，sinC= ，
代入 得：
2R（ ﹣ ）=（ a﹣b） ，
整理得：a2﹣b2= ab﹣b2 ， 即a2= ab，
∴a= b，
∴a2=2b2 ， 又b2+c2=2b2 ，
∴a2=b2+c2 ，
∴∠A=90°，
又b=acosC，c=acosB，
根据正弦定理得：sinB=sinAcosC，sinC=sinAcosB，
∴ = ，即sinBcosB=sinCcosC，
∴sin2B=sin2C，又B和C都为三角形的内角，
∴2B=2C，即B=C，
则三角形为等腰直角三角形．
所以答案是：（1）（2）→甲或（2）（4）→乙或（3）（4）→乙
【考点精析】根据题目的已知条件，利用正弦定理的定义的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握正弦定理:．