Question

7．（1）分别计算：（1-$\frac{1}{4}$），（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$），（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）的值．
（2）根据（1）计算，猜想T_n=（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）…（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$）的表达式；
（3）用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）=$\frac{4}{6}$，（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）=$\frac{5}{8}$．
（2）由（1）猜想：T_n=$\frac{2+n}{2n+2}$；
（3）利用数学归纳法证明即可．

解答 解：（1）1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）=$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{6}$，（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）=$\frac{5}{8}$．
（2）由（1）猜想：T_n=（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）…（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$）=$\frac{2+n}{2n+2}$；
（3）利用数学归纳法证明：
①当n=1时，成立；
②假设当n=k（k∈N^*）时，T_k=$\frac{2+k}{2k+2}$．
则当n=k+1时，T_k+1=T_k•$（1-\frac{1}{（k+1）^{2}}）$=$\frac{2+k}{2k+2}$•$[1-\frac{1}{（k+2）^{2}}]$=$\frac{k+3}{2k+4}$=$\frac{2+（k+1）}{2（k+1）+2}$．
∴当n=k+1时，命题成立．
综上可得：?n∈N^*，T_n=（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）…（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$）=$\frac{2+n}{2n+2}$成立．

点评 本题考查了数学归纳法、递推公式、数列的通项公式，考查了猜想归纳能力与计算能力，属于中档题．