Question

2．已知直线x-y-1=0与椭圆（n-1）x²+ny²-n（n-1）=0（n＞0）交于A、B两点，若以AB为直径的圆过椭圆的左焦点F，求实数的n值．

Answer 1

分析 求出F的坐标，直线方程代入椭圆方程并整理，利用韦达定理，结合以AB为直径的圆过椭圆的焦点F，利用向量的数量积公式，即可求得结论．

解答 解：椭圆（n-1）x²+ny²-n（n-1）=0，即为$\frac{{x}^{2}}{n}$+$\frac{{y}^{2}}{n-1}$=1，
c=$\sqrt{n-（n-1）}$=1，∴F（-1，0），
直线y=x-1代入椭圆（n-1）x²+ny²-n（n-1）=0，
并整理，得（2n-1）x²-2nx+2n-n²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{2n}{2n-1}$，x₁x₂=$\frac{2n-{n}^{2}}{2n-1}$
∴y₁y₂=（x₁-1）（x₂-1）=$\frac{-{n}^{2}+2n-1}{2n-1}$，
∵以AB为直径的圆过椭圆的左焦点F，
∴FA⊥FB，即有$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=0，
∴（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=0，
即有x₁x₂+x₁+x₂+1+y₁y₂=0，
∴$\frac{2n-{n}^{2}}{2n-1}$+$\frac{2n}{2n-1}$+1+$\frac{-{n}^{2}+2n-1}{2n-1}$=0，
∴n²-4n+1=0，
∴n=2±$\sqrt{3}$∵n＞1
∴n=2+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．