题目内容

17.已知:空间四边形ABCD中,H、G分别是AD、CD的中点,E、F分别在BC、AB边 上,且AF=$\frac{1}{3}$AB,CE=$\frac{1}{3}$BC
求证:EG、BD、FH三线共点.

分析 证明EG、BD、FH三线共点,即证明EG和FH的交点在两个平面的交线上,利用公理三可得结论.

解答 证明:如下图所示:

在空间四边形ABCD中,
∵H、G分别是AD、CD的中点,
∴HG∥AC,HG=$\frac{1}{2}$AC,
∵E、F分别在BC、AB边 上,且AF=$\frac{1}{3}$AB,CE=$\frac{1}{3}$BC,
∴EF∥AC,EF=$\frac{2}{3}$AC,
∴HG∥EF,HG≠EF,
即EFGH四点共线,且EG,FH不平行,
故EG,FH必相交于P,
由E,G∈平面BCD得:EG?平面BCD,
∴P∈平面BCD,
同理P∈平面BAD,
故P在平面BCD和平面BAD的交线BD上,
即EG、BD、FH三线共点.

点评 所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点.(1)证明三线共点的依据是公理3.(2)证明三线共点的思路是:先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过该点,把问题转化为证明点在直线上的问题.实际上,点共线、线共点的问题都可以转化为点在直线上的问题来处理.

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