题目内容

4.做一个圆柱形锅炉,容积为V,两个底面的材料每单位面积的价格为a元,侧面的材料每单位面积的价格为b元,当造价最低时,锅炉的高与底面直径的比为(  )
A.$\frac{a}{b}$B.$\frac{{a}^{2}}{b}$C.$\frac{b}{a}$D.$\frac{{b}^{2}}{a}$

分析 设锅炉的高h与底面直径d的比为k=$\frac{h}{d}$,运用圆柱的表面积公式和体积公式,结合导数,求得极值点且为最值点,即可得到.

解答 解:设锅炉的高h与底面直径d的比为k=$\frac{h}{d}$,
由V=$\frac{π{d}^{2}}{4}$h=$\frac{π{d}^{2}}{4}$•kd=$\frac{π}{4}$kd3
可得d=$\root{3}{\frac{4V}{kπ}}$,h=kd=$\root{3}{\frac{4v{k}^{2}}{π}}$,
设造价为y,则y=2π•($\frac{d}{2}$)2•a+πdh•b=$\frac{πa}{2}$•$\root{3}{\frac{16{V}^{2}}{{π}^{2}}}$•${k}^{-\frac{2}{3}}$+πb•$\root{3}{\frac{16{V}^{2}}{{π}^{2}}}$•${k}^{\frac{1}{3}}$,
则y′=$\frac{πa}{2}$•$\root{3}{\frac{16{V}^{2}}{{π}^{2}}}$•(-$\frac{2}{3}$)${k}^{-\frac{5}{3}}$++πb•$\root{3}{\frac{16{V}^{2}}{{π}^{2}}}$•$\frac{1}{3}$${k}^{-\frac{2}{3}}$,
令y′=0,解得k=$\frac{a}{b}$,可得此时y取得最小值.
故当造价最低时,锅炉的高与底面直径的比为$\frac{a}{b}$.
故选A.

点评 本题考查函数在实际问题中的运用,考查导数的运用:求最值,同时考查圆柱的表面积和体积的运用,属于中档题.

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