在平面直角坐标系中.以坐标原点为极点.x轴为极轴建立极坐标系.点A极坐标为(4$\sqrt{2}$.$\frac{π}{4}$)直线l的坐标方程为l:ρcos=a.且l过点A.曲线C1的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$与直线l平行的直线l1与曲线交于M.N两� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，点A极坐标为（4$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）直线l的坐标方程为l：ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，且l过点A，曲线C₁的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．过B（-2，2）与直线l平行的直线l₁与曲线交于M、N两点，求|$\overrightarrow{BM}$|•|$\overrightarrow{BN}$|的值．

分析把极坐标方程、参数方程化为普通方程，求出直线l₁的方程，与C₁的方程组成方程组，求出点M、N的坐标，计算|$\overrightarrow{BM}$|•|$\overrightarrow{BN}$|的值即可．

解答解：∵点A的极坐标为（4$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），
∴点A在平面直角坐标系下的坐标为（4，4）；
又直线l的极坐标方程为l：ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，
即$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρcosθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρsinθ=a，
化为普通方程为$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$y=a，
且l过点A，
∴a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×4+$\frac{\sqrt{2}}{2}$×4=4$\sqrt{2}$，
∴直线l的方程为x+y=8；
又曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
化为普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
设过B（-2，2）与直线l平行的直线l₁的方程为
x+y=k，
则k=-2+2=0，
∴l₁的方程为：x+y=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\sqrt{\frac{12}{7}}}\\{{y}_{1}=-\sqrt{\frac{12}{7}}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\sqrt{\frac{12}{7}}}\\{{y}_{2}=\sqrt{\frac{12}{7}}}\end{array}\right.$，
即M（$\sqrt{\frac{12}{7}}$，-$\sqrt{\frac{12}{7}}$）、N（-$\sqrt{\frac{12}{7}}$，$\sqrt{\frac{12}{7}}$）；
∴|$\overrightarrow{BM}$|•|$\overrightarrow{BN}$|=$\sqrt{{（\sqrt{\frac{12}{7}}+2）}^{2}{+（-\sqrt{\frac{12}{7}}-2）}^{2}}$•$\sqrt{{（-\sqrt{\frac{12}{7}}+2）}^{2}{+（\sqrt{\frac{12}{7}}-2）}^{2}}$
=$\sqrt{2}$（$\sqrt{\frac{12}{7}}$+2）•$\sqrt{2}$（2-$\sqrt{\frac{12}{7}}$）
=2×（4-$\frac{12}{7}$）
=$\frac{32}{7}$．