题目内容
已知抛物线y=x2上的两点A、B满足=l,l>0,其中点P坐标为(0,1),=+,O为坐标原点.
(I) 求四边形OAMB的面积的最小值;
(II) 求点M的轨迹方程.
(I) 求四边形OAMB的面积的最小值;
(II) 求点M的轨迹方程.
(1)2(2)y=x2+2
(Ⅰ)由=l知A、P、B三点在同一条直线上,设该直线方程为y=kx+1,A(x1,x12),B(x2,x22).
由得x2-kx-1=0,\x1+x2=k,x1x2=-1,\·=x1x2+x12x22=-1+(-1)2=0,\^.
又OAMB是平行四边形,\四边形OAMB是矩形,
\S=||·||=·=-x1x2
===.
\当k=0时,S取得最小值是2. 6分
(Ⅱ)设M(x,y),\,消去x1和x2得x2=y-2,\点M的轨迹是y=x2+2 6分
由得x2-kx-1=0,\x1+x2=k,x1x2=-1,\·=x1x2+x12x22=-1+(-1)2=0,\^.
又OAMB是平行四边形,\四边形OAMB是矩形,
\S=||·||=·=-x1x2
===.
\当k=0时,S取得最小值是2. 6分
(Ⅱ)设M(x,y),\,消去x1和x2得x2=y-2,\点M的轨迹是y=x2+2 6分
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