Question

20．如图：已知矩形ABCD是圆柱OO₁的轴截面，E是下底面圆周上的一点．
（1）求证：平面ABE⊥平面AEC；
（2）若三棱锥A-BEC的体积与圆柱体OO₁的体积之比为1：6π时．求∠BCE的大小．

Answer 1

分析 （1）证明EC⊥平面ABE，即可证明平面ABE⊥平面AEC；
（2）求出三棱锥A-BEC的体积与圆柱体OO₁的体积，利用比为1：6π，求∠BCE的大小．

解答 （1）证明：∵BC是直径，
∴EC⊥BE，
∵EC⊥AB，AB∩BE=B，
∴EC⊥平面ABE，
∵EC?平面AEC，
∴平面ABE⊥平面AEC；
（2）解设BC=2R，∠BCE=α
∵三棱锥A-BEC的体积与圆柱体OO₁的体积之比为1：6π，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×BCsinα×BCcosα×AB$：（π×BC²×AB）=1：6π，
∴sin2α=$\frac{1}{2}$，
∴α=$\frac{π}{12}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的证明，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．