Question

8．已知函数f（x）=2x+cosx+sinx，a=f′（$\frac{π}{2}$），f′（x）是函数f（x）的导函数．则过曲线y=x³上一点P（a，b）的切线方程为y=x．

Answer 1

分析 求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程．

解答 解：函数的导数f′（x）=2-sinx+cosx，
则a=f′（$\frac{π}{2}$）=2-sin$\frac{π}{2}$+cos$\frac{π}{2}$=2-1=1，
当a=1时，b=1，即P（1，1），
设切点坐标为（m，n），
则切线方程为y-n=x-m，
即y=x+n-m=x+m³-m，
∵切线过点（1，1），
∴1=1+m³-m，
即m³-m=0，则m（m²-1）=0，
则m=0或m=1或m=-1，
若m=0，则切线方程为y=x，
若m=1，则切线方程为y=x，
若m=-1，则切线方程为y=x，
综上y=x，
故答案为：y=x．

点评 本题主要考查函数的切线方程的求解，求函数的导数，利用导数的几何意义是解决本题的关键．