Question

【题目】已知x＞0，y＞0，z＞0，且xyz=1，求证：x3+y3+z3≥xy+yz+xz．

Answer 1

【答案】证明：因为x＞0，y＞0，z＞0
所以x3+y3+z3≥3xyz，x3+y3+1≥3xy，y3+z3+1≥3yz，x3+z3+1≥3xz
将以上各式相加，得3x3+3y3+3z3+3≥3xyz+3xy+3yz+3xz
又因为xyz=1，从而x3+y3+z3≥xy+yz+xz
【解析】根据算术平均数不小于其几何平均数可得：x3+y3+z3≥3xyz，x3+y3+1≥3xy，y3+z3+1≥3yz，x3+z3+1≥3xz，相加得出结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解不等式的证明(不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等)．