题目内容
5．已知函数f（x）=loga（ax-1）（a＞0且a≠1）．（1）求证：函数f（x）的图象总在y轴的一侧；
（2）讨论函数f（x）的单调性．
分析 （1）由ax-1＞0得：ax＞1，a＞1时，函数f（x）的图象在y轴的右侧；当0＜a＜1时，x＜0，函数f（x）的图象在y轴的左侧．所以函数f（x）的图象在y轴的一侧．
（2）结合指数函数和对数函数的图象和性质，对a进行分类讨论，可得函数f（x）的单调性．
解答 证明：（1）由ax-1＞0得：ax＞1，
∴当a＞1时，x＞0，即函数f（x）的定义域为（0，+∞），
此时函数f（x）的图象在y轴的右侧；
当0＜a＜1时，x＜0，即函数f（x）的定义域为（-∞，0），
此时函数f（x）的图象在y轴的左侧．
∴函数f（x）的图象在y轴的一侧；
（2）令t=ax-1，则y=logat，
当0＜a＜1时，函数f（x）的定义域为（-∞，0），
此时t=ax-1为减函数，y=logat为减函数，
故函数f（x）=loga（ax-1）在（-∞，0）上为增函数；
当a＞1时，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
此时t=ax-1为增函数，y=logat为增函数，
故函数f（x）=loga（ax-1）在（0，+∞）上为增函数；
点评 本题考查对数函数的性质和综合应用，解题时注意分类讨论思想的合理应用．
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