Question

5．函数f（x）=（a-1）4^x+2^x+3．
（1）当a=$\frac{1}{2}$时，求函数f（x）在[-1，3]的最值．
（2）当x∈（-1，3），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=$\frac{1}{2}$时，配方得f（x）=-$\frac{1}{2}$•4^x+2^x+3=-$\frac{1}{2}$（2^x-1）²+$\frac{7}{2}$，从而求函数的最值；
（2）化简可得1-a＜$\frac{{2}^{x}+3}{{4}^{x}}$，从而令g（x）=$\frac{{2}^{x}+3}{{4}^{x}}$=3（2^-x）²+2^-x，从而求得．

解答 解：（1）当a=$\frac{1}{2}$时，f（x）=-$\frac{1}{2}$•4^x+2^x+3=-$\frac{1}{2}$（2^x-1）²+$\frac{7}{2}$，
∵x∈[-1，3]，
∴2^x∈[$\frac{1}{2}$，8]，
∴当2^x=1，即x=0时，f_max（x）=$\frac{7}{2}$，
当2^x=8，即x=3时，f_min（x）=-21；
（2）∵f（x）＞0，
∴（a-1）4^x+2^x+3＞0，
∴1-a＜$\frac{{2}^{x}+3}{{4}^{x}}$，
令g（x）=$\frac{{2}^{x}+3}{{4}^{x}}$=3（2^-x）²+2^-x，
∴x∈（-1，3），
∴2^-x∈（$\frac{1}{8}$，2），
∴3（2^-x）²+2^-x∈（$\frac{11}{64}$，14），
∵当x∈（-1，3），f（x）＞0恒成立，
∴1-a≤$\frac{11}{64}$，
故a≥$\frac{53}{64}$；
即实数a的取值范围为[$\frac{53}{64}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的最值的求法及恒成立问题与最值问题的应用，关键在于独立参数．