题目内容

【题目】某车间为了制作某个零件,需从一块扇形的钢板余料(如图1)中按照图2的方式裁剪一块矩形钢板,其中顶点在半径上,顶点在半径上,顶点上, .设,矩形的面积为.

(1)用含的式子表示 的长;

(2)试将表示为的函数;

(3)求的最大值.

【答案】(1), ;(2) );(3).

【解析】试题分析:(1)直角三角形中,根据锐角三角函数的定义即可表示出 的值;(2 )求出,代入面积公式得出S关于的函数;(3)利用二倍角公式及辅助角公式,三角恒等变换化简,根据的范围和正弦函数的性质即可得出S的最大值.

试题解析:(1)因为,四边形是矩形,

所以在中, .

所以.

中, .

(2)在中, .

所以.

所以

).

(3)因为

),

所以,当,即时, 取得最大值.

【方法点晴】本题考查的知识点比较多,主要考查等比数列的定义、余弦定理及三角函数的最值,属于难题.求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种:①化成的形式利用配方法求最值;②形如的可化为的形式利用三角函数有界性求最值;③型,可化为求最值 .本题(3)是利用方法③的思路解答的.

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