题目内容
【题目】某车间为了制作某个零件,需从一块扇形的钢板余料(如图1)中按照图2的方式裁剪一块矩形钢板,其中顶点
、
在半径
上,顶点
在半径
上,顶点
在
上,
,
.设
,矩形
的面积为
.
(1)用含的式子表示
,
的长;
(2)试将表示为
的函数;
(3)求的最大值.
【答案】(1),
;(2)
(
);(3)
.
【解析】试题分析:(1)直角三角形中,根据锐角三角函数的定义即可表示出 的值;(2 )求出
,代入面积公式得出S关于
的函数;(3)利用二倍角公式及辅助角公式,三角恒等变换化简
,根据的
范围和正弦函数的性质即可得出S的最大值.
试题解析:(1)因为,四边形
是矩形,
所以在中,
.
所以.
在中,
.
(2)在中,
.
所以.
所以
(
).
(3)因为
,
(
),
所以,当,即
时,
取得最大值
.
【方法点晴】本题考查的知识点比较多,主要考查等比数列的定义、余弦定理及三角函数的最值,属于难题.求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种:①化成的形式利用配方法求最值;②形如
的可化为
的形式利用三角函数有界性求最值;③
型,可化为
求最值 .本题(3)是利用方法③的思路解答的.
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