题目内容
【题目】已知椭圆C1: =1(a>b>0)的离心率为e=
,且过点(1,
).抛物线C2:x2=﹣2py(p>0)的焦点坐标为(0,﹣
).
(Ⅰ)求椭圆C1和抛物线C2的方程;
(Ⅱ)若点M是直线l:2x﹣4y+3=0上的动点,过点M作抛物线C2的两条切线,切点分别为A,B,直线AB交椭圆C1于P,Q两点.
(i)求证直线AB过定点,并求出该定点坐标;
(ii)当△OPQ的面积取最大值时,求直线AB的方程.
【答案】解:(I)由于椭圆C1中, ,
则设其方程为 ,
由于点 在椭圆上,故代入得λ=1.
故椭圆C1的方程为 .
抛物线C2中,
∵抛物线C2:x2=﹣2py(p>0)的焦点坐标为(0,﹣ ),
∴ ,故p=1,
从而椭圆C1的方程为 ,抛物线C2的方程为x2=﹣2y.
(II)(i)证明:设点M(x0 , y0),且满足2x0﹣4y0+3=0,
点A(x1 , y1),B(x2 , y2),则切线MA的斜率为﹣x1 ,
从而MA的方程为y=﹣x1(x﹣x1)+y1 ,
考虑到 ,则切线MA的方程为x1x+y+y1=0,
同理切线MB的方程为x2x+y+y2=0,
由于切线MA,MB同过点M,
从而有 ,
由此点A(x1 , y1),B(x2 , y2)在直线x0x+y+y0=0上.
又点M在直线2x﹣4y+3=0上,则2x0﹣4y0+3=0,
故直线AB的方程为(4y0﹣3)x+2y+2y0=0,
即y0(4x+2)+(2y﹣3x)=0,
∴直线AB过定点 .
(ii)解:设P(x3 , y3),Q(x4 , y4),
考虑到直线AB的方程为x0x+y+y0=0,
则联立方程 ,
消去y并简化得 ,
从而 ,
,
,
从而 ,
点O到PQ的距离 ,
从而
= ,
当且仅当 ,即
,
又由于2x0﹣4y0+3=0,
从而消去x0得 ,
即 ,解得
,
从而 或
,
∴所求的直线为x+2y+2=0或x﹣14y﹣10=0
【解析】(I)由已知条件,设椭圆方程为 ,把点
代入能求出椭圆C1的方程.抛物线C2中,由
,能求出抛物线C2的方程.(II)(i)设点M(x0 , y0),且满足2x0﹣4y0+3=0,点A(x1 , y1),B(x2 , y2),由于切线MA,MB同过点M,有
,由此能证明直线AB过定点
.(ii)设P(x3 , y3),Q(x4 , y4),联立方程
,得
,由此利用根的判别式和韦达定理能求出直线方程.
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