题目内容
【题目】已知函数,
,
.
(1)设.①若
,则
,
满足什么条件时,曲线
与
在x=0处总有相同的切线?②当a=1时,求函数
单调区间;
(2)若集合为空集,求ab的最大值.
【答案】(1)见解析;(2)ab的最大值为.
【解析】
(1)①中分别利用导数求出和
,在
处的切线方程,根据两切线重合,即可求出
满足的条件;②中先求出函数
的解析式,然后求出导数
,令
,讨论根的大小,从而求出函数的单调区间;
(2)由集合为空集,即为
无解,令
,利用导数,得到函数
的单调性和最值,即可求解.
(1)①由题意求得:,
要使曲线与
在x=0处总有相同的切线
则,求得
②,则
当时,当
,
时,
,
当,
,
时,
,
当时,
时,
当时,当
,
时,
,
当,
,
时,
,
综上所述,当时,
的单调递增区间为
,
,单调递减区间为
,
,
,
;当b=0时,
无单调增区间,单调减区间为R;当
时,
的单调递增区间为
,
,单调递减区间为
,
,
,
.
(2)因为集合为空集,即
无解
令,求得
当时,
在R上单调递增,显然
有解不符题意
当时,
在
,lna]单调递减,在[lna,
单调递增
所以时,符合题意
则,则
令,求得
当,
时,
,当
,
时,
∴当
∴ab的最大值为.
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