Question

20．在数列{a_n}中，S_n为其前n项和，其中a₁=2，a₄=$\frac{3}{4}$，2S_n+2=S_n+S_n+1（n∈N^*），则S_n的最大值为5．

Answer 1

分析 根据数列的前n项和的定义化简2S_n+2=S_n+S_n+1，由等比数列的定义即可判断出数列的特征，并由等比数列的通项公式求出a₂的值，再由等比数列的前n项和公式求出S_n的代数式，再对n分类讨论利用指数函数的单调性求出S_n的最大值．

解答 解：由题意知，2S_n+2=S_n+S_n+1，则2S_n+2-S_n-S_n+1=0，
∴a_n+2+a_n+1+a_n+2=0，则a_n+2=-$\frac{1}{2}$a_n+1，
∵a₄=$\frac{3}{4}$，∴a₂•$（-\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{3}{4}$，解得a₂=3，
∴数列{a_n}是首项2、从第二项开始为公比是$-\frac{1}{2}$的等比数列，
∴S_n=2+$\frac{3[1-（-\frac{1}{2}）^{n-1}]}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$4-\frac{2}{（-2）^{n-1}}$，
当n为奇数时，S_n=$4-\frac{1}{{2}^{n-2}}$＜4；
当n为偶数时，S_n=$4+\frac{1}{{2}^{n-2}}$≤$4+\frac{1}{{2}^{2-2}}$=5，
综上可得，S_n的最大值是5，
故答案为：5．

点评 本题考查等比数列的定义、通项公式、前n项和公式，以及数列的函数特征，分类讨论思想，属于中档题．