题目内容
15．平面直角坐标系中，点A（-2，0），B（2，0），平面内任意一点P满足：直线PA的斜率k1，直线PB的斜率k2，k1k2=-$\frac{3}{4}$，点P的轨迹为曲线C1，双曲线C2以曲线C1的上下两顶点M、N为顶点，Q是双曲线C2上不同于顶点的任意一点，直线QM的斜率为k3，直线QN的斜率k4．（1）求曲线C1的方程；
（2）如果k1k2+k3k4≥0，分别求双曲线C2的两条渐近线倾斜角的取值范围；（理）
（3）如果k1k2+k3k4≥0，分别求双曲线C2的焦距的取值范围．（文）
分析 （1）设P（x，y），运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到曲线C1的方程；
（2）设双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{3}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0），Q（x0，y0）在双曲线上，再由直线的斜率公式，结合k1k2+k3k4≥0求得b的范围，即可得到双曲线C2的两渐近线的斜率的范围，进一步求得双曲线C2的两条渐近线倾斜角的取值范围；
（3）由（2）中求得的b的范围，结合焦距为2$\sqrt{3+{b}^{2}}$求得答案．
解答 解：（1）设P（x，y），
则${k}_{1}{k}_{2}=\frac{y}{x+2}•\frac{y}{x-2}=-\frac{3}{4}$，
∴曲线C1的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$（x≠±2）；
（2）设双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{3}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0），
Q（x0，y0）在双曲线上，∴$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}=1$（b＞0），
∵k3k4=$\frac{{y}_{0}-\sqrt{3}}{{x}_{0}}•\frac{{y}_{0}+\sqrt{3}}{{x}_{0}}=\frac{{{y}_{0}}^{2}-3}{{{x}_{0}}^{2}}$=$\frac{3}{{b}^{2}}$，
∴-$\frac{3}{4}+\frac{3}{{b}^{2}}$≥0，∴0＜b≤2，
∵双曲线的两条渐近线的斜率分别为$\frac{\sqrt{3}}{b}、-\frac{\sqrt{3}}{b}$，
∴双曲线的两条渐近线的斜率的范围分别为[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，+∞）、（-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．
∴双曲线的两条渐近线的倾斜角的范围为[$arctan\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{π}{2}$）、（$\frac{π}{2}$，$π-arctan\frac{\sqrt{3}}{2}$]；
（3）由双曲线C2的焦距为2$\sqrt{3+{b}^{2}}$，
又0＜b≤2，
∴双曲线C2的焦距的取值范围∈（2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{7}$]．
点评 本题考查轨迹方程的求法，主要考查椭圆和双曲线的方程和性质，同时考查直线的斜率和倾斜角间的关系，属于中档题．
| A． | 5 | B． | 0 | C． | 不存在 | D． | 30 |