Question

8．阅读如图所示的程序框图，若输入a的值为二项（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{19{x}^{4}}$）⁹展开式的常数项，则输出的k值为9．

Answer 1

分析 根据二项式的通项公式求得a=$\frac{9}{19}$，由程序框图可得，S表示$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{（2k-1）（2k+1）}$=$\frac{k}{2k+1}$，再由S=$\frac{k}{2k+1}$≤$\frac{9}{19}$，求得k的最大值，可得答案．

解答 解：二项（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{19{x}^{4}}$）⁹展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{9}^{r}$•19^-r•${x}^{\frac{9-r}{2}}$，令$\frac{9-9r}{2}$=0，求得r=1，
可得常数项为 a=$\frac{9}{19}$．
而由程序框图可得，S表示$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{（2k-1）（2k+1）}$
=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{2k-1}$-$\frac{1}{2k+1}$）]=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2k+1}$）=$\frac{k}{2k+1}$，k为正整数．
由S=$\frac{k}{2k+1}$≤$\frac{9}{19}$，求得k≤9，
故答案为：9．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，程序框图，属于基础题．