题目内容
【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,
,直线
与椭圆
在第一象限内的交点是
,且
轴,
.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在斜率为的直线
与以线段
为直径的圆相交于
,
两点,与椭圆
相交于
,
两点,且
?若存在,求出直线
的方程;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)存在,
或
【解析】
(1)由题意,先设,
,得到
,根据
,求出
,
,再由点
在椭圆上,得到
,求解,即可得出结果;
(2)先假设存在斜率为的直线
,设为
,由(1)得到以线段
为直径的圆为
,根据点到直线距离公式,以及圆的弦长公式得到
,联立直线与椭圆方程,根据韦达定理与弦长公式,得到
,再由
求出
,即可得出结果.
(1)设,
,
由题意,得
因为
解得,则
,
又点在椭圆上,所以
,解得
.
所以椭圆E的方程为;
(2)假设存在斜率为的直线
,设为
,
由(1)知,,
所以以线段为直径的圆为
.
由题意,圆心到直线
的距离
,得
.
,
由消去y,
整理得.
由题意,,
解得,又
,所以
.
设,
则
,
若,
则
整理得,
解得,或
.
又,所以
,即
.
故存在符合条件的直线,其方程为
,或
.
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