题目内容
【题目】给出定理：在圆锥曲线中，
是抛物线
的一条弦，
是的中点，过点且平行于
轴的直线与抛物线的交点为
.若
两点纵坐标之差的绝对值
，则
的面积
，试运用上述定理求解以下各题：
（1）若
，所在直线的方程为
，是的中点，过且平行于轴的直线与抛物线
的交点为，求
；
（2）已知是抛物线的一条弦，是的中点，过点且平行于轴的直线与抛物线的交点为，
分别为
和
的中点，过且平行于轴的直线与抛物线分别交于点
，若两点纵坐标之差的绝对值，求
和
；
（3）请你在上述问题的启发下，设计一种方法求抛物线：
与弦围成成的“弓形”的面积，并求出相应面积.
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）设计方法见详解，
【解析】
（1）由题意，先计算出
，然后直接根据
求解
的值；
（2）根据条件可知，
的面积计算符合定理的计算方法，故可直接利用定理中的计算方法求解
的值；
（3）对“弓形”进行无数次（2）中的操作，每操作一次面积增加的量构成等比数列，因此面积可以写成极限式：
，求此极限的结果即为“弓形”面积.
（1）联立
可得：
，所以
，所以
；
（2）设点
的纵坐标为
，由题意可知
为抛物线
的一条弦，
是的中点，且
两点纵坐标之差的绝对值为
，
由已知的结论可知：
，同理可知
；
（3）如果将（2）中的结果看成是一次操作，将操作继续下去，取每段新的弦的中点做平行于
轴的直线与抛物线得到交点，并与弦的端点连接，计算得到的新三角形面积，操作无限重复下去：
第一次操作：增加的面积为，面积为
；
第二次操作：增加了
个三角形，面积为
；
第三次操作：增加了
个三角形，面积为
；……
由此可知每次新增加的面积构成一个公比为
的等比数列，随着操作持续下去这些三角形逐渐填满整个“弓形”，
所以“弓形”面积为：
.
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