Question

【题目】已知函数 ，函数 (a>0)，若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是(　 　)
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】∵ ，

① 当x∈[0, ]时,f(x)= 在R上是单调递减函数，

∴f( )f(x)f(0),即0f(x) ，

∴f(x)的值域为[0, ]；

② 当x∈( ,1]时,f(x)= ，

∴f′(x)= = ，

∴当x> 时,f′(x)>0,即f(x)在( ,+∞)上单调递增，

∴f(x)在( ,1]上单调递增，

∴f( )<f(x)f(1),即 <f(x)1，

∴f(x)的值域为[ ,1].

综合①②,f(x)的值域为[0,1].

∵g(x)=asin( )2a+2,(a>0),且x∈[0,1]，

∴0 x ,则0sin( x) ，

∵a>0则0asin( x) a，

∴22ag(x)2 a，

∴g(x)的值域为[22a,2 a]，

∵存在x1,x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立，

∴[0,1]∩[22a,2 a]≠，

若[0,1]∩[22a,2 a]=,则2 a<0或22a>1，

∴a< 或a> ，

∴当[0,1]∩[22a,2 a]≠时,a的取值范围为[12, ]，

∴实数a的取值范围是[ , ].

故答案为：D.

根据x的范围确定函数的值域和 g(x) 的值域，进而根据f ( x1 ) = g ( x2 ) 成立，推断出[0,1]∩[22a,2 3 2 a]≠时,先看当二者的交集为空集时求得a的范围，故可求得当集合的交集为非空时a的范围。