题目内容

【题目】已知椭圆E: ,圆O:x2+y2=a2与y轴正半轴交于点B,过点B的直线与椭圆E相切,且与圆O交于另一点A,若∠AOB=60°,则椭圆E的离心率为(
A.
B.
C.
D.

【答案】D
【解析】解:由∠AOB=60°,可得△ABO为等边三角形,即|AB|=a,

设直线AB的方程为y=kx+a(k>0),

圆心到直线的距离为d= ,弦长|AB|=a=2

解得k=

可得直线y= x+a,代入椭圆方程b2x2+a2y2=a2b2

可得(b2+ a2)x2+ a3x+a4﹣a2b2=0,

由直线和椭圆相切,可得:△= a6﹣4(b2+ a2)(a4﹣a2b2)=0,

化简可得b2= a2

由b2=a2﹣c2,可得c2= a2

即有e=

故选:D.

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