Question

【题目】定义在R上的奇函数满足，且在[0,1)上单调递减，若方程在[0,1)上有实数根，则方程在区间[-1,7]上所有实根之和是

A. 12 B. 14 C. 6 D. 7

Answer 1

【答案】A

【解析】由f（2-x）=f（x）知函数f（x）的图象关于直线x=1对称，

由f（x）是R上的奇函数知f（2-x）=-f（x-2），f（x-4）=-f（4-x）

在f（2-x）=f（x）中，以x-2代x得：

f（2-（x-2））=f（x-2）即f（4-x）=f（x-2），

所以f（x）=f（2-x）=-f（4-x）=f（x-4）

即f（x+4）=f（x），

所以f（x）是以4为周期的周期函数．

考虑f（x）的一个周期，例如[-1，3]，

由f（x）在[0，1）上是减函数知f（x）在（1，2]上是增函数，

f（x）在（-1，0]上是减函数，f（x）在[2，3）上是增函数．

对于奇函数f（x）有f（0）=0，f（2）=f（2-2）=f（0）=0，

故当x∈（0，1）时，f（x）＜f（0）=0，当x∈（1，2）时，f（x）＜f（2）=0，

当x∈（-1，0）时，f（x）＞f（0）=0，当x∈（2，3）时，f（x）＞f（2）=0，

方程f（x）=-1在[0，1）上有实数根，

则这实数根是唯一的，因为f（x）在（0，1）上是单调函数，

则由于f（2-x）=f（x），故方程f（x）=-1在（1，2）上有唯一实数．

在（-1，0）和（2，3）上f（x）＞0，

则方程f（x）=-1在（-1，0）和（2，3）上没有实数根．

从而方程f（x）=-1在一个周期内有且仅有两个实数根．

当x∈[-1，3]，方程f（x）=-1的两实数根之和为x+2-x=2，

当x∈[-1，7]，方程f（x）=-1的所有四个实数根之和为x+2-x+4+x+4+2-x=2+8+2=12．

故答案为A.