题目内容
【题目】若无穷数列满足:只要
,必有
,则称
具有性质
.
(1)若具有性质
,且
,
,求
;
(2)若无穷数列是等差数列,无穷数列
是公比为正数的等比数列,
,
,
判断
是否具有性质
,并说明理由;
(3)设是无穷数列,已知
.求证:“对任意
都具有性质
”的充要条件为“
是常数列”.
【答案】(1).(2)
不具有性质
.(3)见解析.
【解析】试题分析:(1)根据已知条件,得到,结合
求解即可.
(2)根据的公差为
,
的公比为
,写出通项公式,从而可得
.
通过计算,
,
,
,即知
不具有性质
.
(3)从充分性、必要性两方面加以证明,其中必要性用反证法证明.
试题解析:(1)因为,所以
,
,
.
于是,又因为
,解得
.
(2)的公差为
,
的公比为
,
所以,
.
.
,但
,
,
,
所以不具有性质
.
[证](3)充分性:
当为常数列时,
.
对任意给定的,只要
,则由
,必有
.
充分性得证.
必要性:
用反证法证明.假设不是常数列,则存在
,
使得,而
.
下面证明存在满足的
,使得
,但
.
设,取
,使得
,则
,
,故存在
使得
.
取,因为
(
),所以
,
依此类推,得.
但,即
.
所以不具有性质
,矛盾.
必要性得证.
综上,“对任意,
都具有性质
”的充要条件为“
是常数列”.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目