题目内容
【题目】如图,在三棱台中,
,
分别是
,
的中点,
平面
,
是等边三角形,
,
,
.
(1)证明: 平面
;
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2) .
【解析】试题分析:(1)根据棱台的性质和三角形的中位线可以得到,从而得到
平面
.在梯形
中,
(
为棱
的中点),所以
平面
,从而可以证明平面
平面
,也就能得到
平面
.(2)以
所在直线分别为
轴,
轴,
轴,建立空间直角坐标系
,通过计算平面
和平面
的法向量的夹角得到二面角
的正弦值为
.
解析:(1)证明:因为,
为棱
的中点,所以
,所以四边形
为平行四边形,从而
.又
平面
,
平面
,所以
平面
. 因为
是
的中位线,所以
,同理可证,
平面
.因为
,所以平面
平面
. 又
平面
,所以
平面
.
(2)以所在直线分别为
轴,
轴,
轴,建立如图所示的空间直角坐标系
,设
,则
,则
.
设平面的一个法向量
,则
即
取,得
.
同理,设平面的一个法向量
,又
,
由,得
取
,得
.所以
,即二面角
的正弦值为
.
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