题目内容
【题目】已知.
(Ⅰ)当时,求
的极值;
(Ⅱ)若有2个不同零点,求
的取值范围;
(Ⅲ)对,求证:
.
【答案】(1) ,无极大值(2)
(3)见解析
【解析】试题分析:(Ⅰ)求导,利用导函数的符号确定函数的单调性,进而确定函数的极值;(Ⅱ)求导,讨论的取值,研究导函数的符号变换,得到函数单调性和极值,再通过零点的个数确定极值的符号;(Ⅲ)作差构造函数,求导,利用导数求其最值即可证明.
试题解析:(Ⅰ)当时
,
,
为减函数
,
,
为增函数
∴,无极大值;
(Ⅱ)
当
时,
,只有个零点
当
时,
,
,
为减函数
,
,
为增函数
而
∴当,
,使
当时,∴
∴
∴
取,∴
∴函数有个零点
当
时,
令得
,
①,即
时
当变化时
,
变化情况是
∴
∴函数至多有一个零点,不符合题意
②时,
,
在
单调递增
∴至多有一个零点,不合题意
③当时,即以
时
当变化时
,
的变化情况是
∴,
时
∴函数至多有个零点
综上: 的取值范围是
(Ⅲ)令
令行禁止
∴
为增函数
取,
,
∴存在唯一使
,即
,
,即
,∴
为减函数
,
,即
,∴
为增函数
∴
∴对有
即
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