题目内容
【题目】已知
．
（Ⅰ）当
时，求
的极值；
（Ⅱ）若
有2个不同零点，求
的取值范围；
（Ⅲ）对
，求证： 
．
【答案】(1) 
，无极大值(2) 
(3)见解析
【解析】试题分析：（Ⅰ）求导，利用导函数的符号确定函数的单调性，进而确定函数的极值；（Ⅱ）求导，讨论
的取值，研究导函数的符号变换，得到函数单调性和极值，再通过零点的个数确定极值的符号；（Ⅲ）作差构造函数，求导，利用导数求其最值即可证明.
试题解析：（Ⅰ）当
时 
， 
， 
为减函数
， 
， 
为增函数
∴
，无极大值；
（Ⅱ）
当
时， 
，只有个零点
当
时， 
， 
， 
为减函数
， 
， 
为增函数
而
∴当
， 
，使
当
时，∴
∴
∴
取
，∴
∴函数有
个零点
当
时， 
令
得
， 
①
，即
时
当
变化时 
， 
变化情况是
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∴
∴函数
至多有一个零点，不符合题意
②
时， 
， 
在
单调递增
∴
至多有一个零点，不合题意
③当
时，即以
时
当
变化时
， 
的变化情况是
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∴
， 
时
∴函数
至多有个零点
综上： 
的取值范围是
（Ⅲ）令
令
行禁止 
∴
为增函数
取
， 
， 
∴存在唯一
使
，即
， 
，即
，∴
为减函数
， 
，即
，∴
为增函数
∴
∴对
有
即
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