题目内容
【题目】已知椭圆:
的左、右有顶点分别是
、
,上顶点是
,圆
:
的圆心
到直线
的距离是
,且椭圆的右焦点与抛物线
的焦点重合.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)平行于轴的动直线与椭圆和圆在第一象限内的交点分别为
、
,直线
、
与
轴的交点记为
,
.试判断
是否为定值,若是,证明你的结论.若不是,举反例说明.
【答案】(1) (2)
是定值为
【解析】试题分析:(Ⅰ)写出的方程,利用点到直线的距离和抛物线的焦点坐标进行求解;(Ⅱ)设出直线方程,联立直线和椭圆的方程,得到关于
的一元二次方程,利用根与系数的关系、点在圆上及平面向量的数量积公式进行求解.
试题解析:(Ⅰ)方程为:
即为:
由题意得
整理得:
,
(舍) ∴
椭圆:
(Ⅱ)设直线:
,令
得
∴
∴
∴ ∴
∴方程为:
令得
∴
设,则
且
∴
∴ 即:
所以是定值为
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