题目内容
(本题满分14分)已知函数(且).
(Ⅰ)当时,求证:函数在上单调递增;
(Ⅱ)若函数有三个零点,求t的值;
(Ⅲ)若存在x1,x2∈[﹣1,1],使得,试求a的取值范围.
注:e为自然对数的底数。
(Ⅰ)当时,求证:函数在上单调递增;
(Ⅱ)若函数有三个零点,求t的值;
(Ⅲ)若存在x1,x2∈[﹣1,1],使得,试求a的取值范围.
注:e为自然对数的底数。
解:(Ⅰ),
由于,故当x∈时,lna>0,ax﹣1>0,所以,
故函数在上单调递增。 ………………………………………4分
(Ⅱ)当a>0,a≠1时,因为,且 在R上单调递增,
故有唯一解x=0。
要使函数 有三个零点,所以只需方程 有三个根,
即,只要,解得t=2; ………………………………9分
(Ⅲ)因为存在x1,x2∈[﹣1,1],使得,
所以当x∈[﹣1,1]时,。
由(Ⅱ)知,,
。
事实上,。
记()
因为
所以 在上单调递增,又。
所以 当 x>1 时,;
当0<x<1 时,,
也就是当a>1时,;
当0<a<1时,。
① 当时,由,得,
解得 。
②当0<a<1时,由,得,
解得 。
综上知,所求a的取值范围为。
由于,故当x∈时,lna>0,ax﹣1>0,所以,
故函数在上单调递增。 ………………………………………4分
(Ⅱ)当a>0,a≠1时,因为,且 在R上单调递增,
故有唯一解x=0。
要使函数 有三个零点,所以只需方程 有三个根,
即,只要,解得t=2; ………………………………9分
(Ⅲ)因为存在x1,x2∈[﹣1,1],使得,
所以当x∈[﹣1,1]时,。
由(Ⅱ)知,,
。
事实上,。
记()
因为
所以 在上单调递增,又。
所以 当 x>1 时,;
当0<x<1 时,,
也就是当a>1时,;
当0<a<1时,。
① 当时,由,得,
解得 。
②当0<a<1时,由,得,
解得 。
综上知,所求a的取值范围为。
略
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