Question

【题目】如图，四棱锥中，，，，为正三角形.若，且与底面所成角的正切值为.

（1）证明：平面平面；

（2）是线段上一点，记，是否存在实数，使二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）存在，

【解析】

（1）由勾股定理与正三角形的性质可证，再由已知证得，由线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理即可证得平面平面；

（2）作BC延长线于点Q，且BQ=AD，由（1）可知，QD,QP,QB两两垂直，以它们所在直线分别做x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，结合已知即可表示点Q，A，C，D，E的坐标，进而求得面PAE与面ACE的法向量，利用向量的数量积求夹角与已知构建方程，求得的值.

（1）因为，，所以

又因为为正三角形，所以

又,则，即

又因为，，所以 且

所以平面，又因为平面

故平面平面

（2）作BC延长线于点Q，且BQ=AD，由（1）可知，QD,QP,QB两两垂直，以它们所在直线分别做x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则Q(0,0,0),A(2,2,0),C(0,1,0),D(2,0,0)

由,可得，所以

设平面PAE的法向量为

则，即，令，解得

所以，显然是平面ACE的法向量

设二面角为

则

依据题意有，解得