题目内容
【题目】已知函数.
(1)若函数在
上为增函数,求
的取值范围;
(2)若函数有两个不同的极值点,记作
,
,且
,证明:
(
为自然对数).
【答案】(1)(2)见解析
【解析】
分析:(1)由题意可知,函数的定义域为
,
,因为函数
在
为增函数,所以
在
上恒成立,等价于
,
由此可求的取值范围;
(2)求出,因为
有两极值点
,所以
,
设令,则
,上式等价于要证
,令
,根据函数的单调性证出即可.
详解:
(1)由题意可知,函数的定义域为
,
,
因为函数在
为增函数,所以
在
上恒成立,
等价于在
上恒成立,即
,
因为,所以
,
故的取值范围为
.
(2)可知,
所以,
因为有两极值点
,所以
,
欲证,等价于要证:
,即
,
所以,因为
,所以原式等价于要证明:
,①
由,可得
,则有
,②
由①②原式等价于要证明:,即证
,
令,则
,上式等价于要证
,
令,则
因为,所以
,所以
在
上单调递增,
因此当时,
,即
.
所以原不等式成立,即.
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