Question

8．已知过双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的中心的直线交双曲线于点A，B，在双曲线C上任取与点A，B不重合的点P，记直线PA，PB，AB的斜率分别为k₁，k₂，k，若k₁k₂＞k恒成立，则离心率e的取值范围为（　　）

• A． 1＜e＜$\sqrt{2}$
• B． 1＜e≤$\sqrt{2}$
• C． e＞$\sqrt{2}$
• D． e≥$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），P（x₂，y₂），由双曲线的对称性得B（-x₁，-y₁），从而得到k₁k₂=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$，将A，P坐标代入双曲线方程，相减，可得k₁k₂=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，又k=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，由双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，则k趋近于$\frac{b}{a}$，可得a，b的不等式，结合离心率公式，计算即可得到．

解答 解：设A（x₁，y₁），P（x₂，y₂），
由题意知点A，B为过原点的直线与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的交点，
∴由双曲线的对称性得A，B关于原点对称，
∴B（-x₁，-y₁），
∴k₁k₂=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$，
∵点A，P都在双曲线上，
∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
两式相减，可得：$\frac{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}$，
即有k₁k₂=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，又k=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，
由双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，则k趋近于$\frac{b}{a}$，
k₁k₂＞k恒成立，则$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$≥$\frac{b}{a}$，
即有b≥a，即b²≥a²，
即有c²≥2a²，
则e=$\frac{c}{a}$≥$\sqrt{2}$．
故选D．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，涉及到导数、最值、双曲线、离心率等知识点，综合性强，难度大，解题时要注意构造法的合理运用．