题目内容
【题目】已知函数.
(1)当函数在点
处的切线方程为
,求函数
的解析式;
(2)在(1)的条件下,若是函数
的零点,且
,求
的值;
(3)当时,函数
有两个零点
,且
,求证:
.
【答案】(1)(2)
(3)详见解析
【解析】
试题(1)先求出的导函数,再根据
且
可以求得
的值进而得函数
的解析式;(2)先根据导数研究函数
的单调性,再根据零点定理判定出零点
所在区间即可求得
的值;(3)根据
做差先将
表示成关于
的函数
,然后证明
即可.
试题解析: (1),所以
,
∴函数的解析式为
;
(2),
因为函数的定义域为
,
令,
当时,
,
单调递减,
当时,
,函数
单调递增,
且函数的定义域为
,
令,
且时,
单调递减,
当时,
,
单调递增,
且函数至少有1个零点,而
,不符合要求,
,
∴,故
.
(3)当时,函数
,
,两式相减可得
.
,因为
,
所以
设,
∴,
所以在
上为增函数,且
,
∴,又
,所以
.
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