题目内容
20．过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F1作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若A恰好是F1B的中点，则双曲线的离心率是（ ）| A． | $\sqrt{2}$ | B． | $\sqrt{3}$ | C． | 2 | D． | $\sqrt{5}$ |
分析 由题意可知，渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，则F1A的方程为y-0=$\frac{a}{b}$（x+c），代入渐近线方程y=$\frac{b}{a}$x可得B的坐标，由若A恰好是F1B的中点，所以|OB|=c，即可求得离心率．
解答 解：由题意可知，渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
则F1A的方程为y-0=$\frac{a}{b}$（x+c），代入渐近线方程y=$\frac{b}{a}$x可得B的坐标为（$\frac{{a}^{2}c}{{b}^{2}-{a}^{2}}$，$\frac{abc}{{b}^{2}-{a}^{2}}$），
因为若A恰好是F1B的中点，所以|OB|=c，
所以（$\frac{{a}^{2}c}{{b}^{2}-{a}^{2}}$）2+（$\frac{abc}{{b}^{2}-{a}^{2}}$）2=c2，
所以b2=3a2，所以c2=a2+b2=4a2，
所以e=2
故选：C．
点评 本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出B的坐标是解题的关键．
练习册系列答案
ABC考王全优卷系列答案
相关题目
在如图所示的多面体BACDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，且AC=AD=CD=DE=2，AB=1
已知n3（n∈N*）有如下的拆分方式：13=1，23=2+4+2，33=3+6+9+6+3，…，这些通过拆分得到的数可组成右边的数阵：
5．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（ ）
| A． | $\frac{3}{5}$ | B． | $\frac{4}{5}$ | C． | $\frac{3}{4}$ | D． | $\frac{3\sqrt{2}}{5}$ |