Question

5．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的两焦点分别是F₁，F₂，过F₁的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF₂|=|F₁F₂|，且2|PF₁|=3|QF₁|，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{3}{5}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{3\sqrt{2}}{5}$

Answer 1

分析 由题意作图，从而设设点Q（x₀，y₀），从而由2|PF₁|=3|QF₁|可写出点P（-$\frac{5}{2}$c-$\frac{3}{2}$x₀，-$\frac{3}{2}$y₀）；再由椭圆的第二定义可得|PF₁|=$\frac{c}{a}$|MP|，|QF₁|=$\frac{c}{a}$|QA|，从而可得3（x₀+$\frac{{a}^{2}}{c}$）=2（-$\frac{5}{2}$c-$\frac{3}{2}$x₀+$\frac{{a}^{2}}{c}$），从而化简得到x₀=-$\frac{5{c}^{2}+{a}^{2}}{6c}$，再由|PF₂|=|F₁F₂|及椭圆的第二定义可得3a²+5c²-8ac=0，从而解得．

解答 解：由题意作图如右图，
l₁，l₂是椭圆的准线，设点Q（x₀，y₀），
∵2|PF₁|=3|QF₁|，
∴点P（-$\frac{5}{2}$c-$\frac{3}{2}$x₀，-$\frac{3}{2}$y₀）；
又∵|PF₁|=$\frac{c}{a}$|MP|，|QF₁|=$\frac{c}{a}$|QA|，
∴2|MP|=3|QA|，
又∵|MP|=-$\frac{5}{2}$c-$\frac{3}{2}$x₀+$\frac{{a}^{2}}{c}$，|QA|=x₀+$\frac{{a}^{2}}{c}$，
∴3（x₀+$\frac{{a}^{2}}{c}$）=2（-$\frac{5}{2}$c-$\frac{3}{2}$x₀+$\frac{{a}^{2}}{c}$），
解得，x₀=-$\frac{5{c}^{2}+{a}^{2}}{6c}$，
∵|PF₂|=|F₁F₂|，
∴（$\frac{5}{2}$c+$\frac{3}{2}$x₀+$\frac{{a}^{2}}{c}$）$\frac{c}{a}$=2c；
将x₀=-$\frac{5{c}^{2}+{a}^{2}}{6c}$代入化简可得，
3a²+5c²-8ac=0，
即5$（\frac{c}{a}）^{2}$-8$\frac{c}{a}$+3=0；
解得，$\frac{c}{a}$=1（舍去）或$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{5}$；
故选：A．

点评 本题考查了椭圆的性质应用及数形结合的思想应用，属于中档题．