Question

11．已知函数f（x）=e^x-alnx，a∈R．
（ I）若x=1是f（x）的极值点，求a的值：
（Ⅱ）当a=e时，求证：f（x）≥e．

Answer 1

分析 （I）利用f′（1）=0即可得出．
（II）当a=e时，f（x）=e^x-elnx．f′（x）=$\frac{x{e}^{x}-e}{x}$．由于f′（1）=0，对x分类讨论：当0＜x＜1，当x＞1，则e^x＞e，即可得出其最小值．

解答 （ I）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
∵f′（x）=${e}^{x}-\frac{a}{x}$，
又x=1是f（x）的极值点，
∴f′（1）=e-a=0，
解得a=e．
经检验，x=1是f（x）的极值点，
∴a=e．
（Ⅱ）证明：当a=e时，f（x）=e^x-elnx．
∴f′（x）=e^x-$\frac{e}{x}$=$\frac{x{e}^{x}-e}{x}$．
当0＜x＜1，则1＜e^x＜e，
∴xe^x＜e，即xe^x-e＜0．
∴函数f（x）在（0，1）内单调递减．
当x＞1，则e^x＞e，
可得xe^x-e＞0．
∴函数f（x）在（1，+∞）上单调递增．
∴当x=1时，f（x）取得最小值，f（1）=e．
∴f（x）≥e．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．