Question

6．若x，y满足$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ y≤2x\\ x+y≤1\end{array}\right.$若z=x+my的最大值为$\frac{5}{3}$，则实数m=2．

Answer 1

分析 画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最大值，从而建立关于m的等式，即可得出答案．

解答 解：由z=x+my得y=$-\frac{1}{m}$x$+\frac{z}{m}$，
作出不等式组对应的平面区域如图：
∵z=x+my的最大值为$\frac{5}{3}$，
∴此时z=x+my=$\frac{5}{3}$，
此时目标函数过定点C（$\frac{5}{3}$，0），
作出x+my=$\frac{5}{3}$的图象，
由图象知当直线x+my=$\frac{5}{3}$，经过但A时，
直线AC的斜率k=$-\frac{1}{m}$＞-1，
即m＞1，
由平移可知当直线y=$-\frac{1}{m}$x$+\frac{z}{m}$，
经过点A时，目标函数取得最大值，此时满足条件，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{x+y=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），
同时，A也在直线x+my=$\frac{5}{3}$上，
代入得$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$m=$\frac{5}{3}$，解得m=2，
故答案为：2．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义确定取得最大值的最优解是解决本题的关键．