Question

15．如图，在三棱锥S-ABC中，SB⊥底面ABC，且SB=AB=2，BC=$\sqrt{6}，∠ABC=\frac{π}{2}$，D、E分别是SA、SC的中点．
（I）求证：平面ACD⊥平面BCD；
（II）求二面角S-BD-E的平面角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据面面垂直的判定定理证明AD⊥平面BCD即可证明平面ACD⊥平面BCD．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角S-BD-E的余弦值．

解答 证明：（I）∵∠ABC=$\frac{π}{2}$，
∴BA⊥BC，
建立如图所示的坐标系，
则C（0，$\sqrt{6}$，0），A（2，0，0），D（1，0，1），E（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$，1），S（0，0，2），
则$\overrightarrow{AD}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{BC}$=（0，$\sqrt{6}$，0），
$\overrightarrow{BD}$=（1，0，1），
则$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=（-1，0，1）•（0，$\sqrt{6}$，0）=0，
$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BD}$=（-1，0，1）•（1，0，1）=-1+1=0，
则$\overrightarrow{AD}$⊥$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AD}$⊥$\overrightarrow{BD}$，
即AD⊥BC，AD⊥BD，
∵BC∩BD=B，
∴AD⊥平面BCD；
∵AD?平面BCD；
∴平面ACD⊥平面BCD；
（II）$\overrightarrow{BE}$=（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$，1），
则设平面BDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，1），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{n}=0}\\{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{6}}{2}y+1=0}\\{x+1=0}\end{array}\right.$，
解得x=-1，y=$-\frac{\sqrt{6}}{3}$，
即$\overrightarrow{n}$=（-1，$-\frac{\sqrt{6}}{3}$，1），
又平面SBD的法向量$\overrightarrow{BC}$=（0，$\sqrt{6}$，0），
∴cos＜$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{6}•\sqrt{\frac{8}{3}}}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$，
则＜$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{2π}{3}$，即二面角S-BD-E的平面角的大小为$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查空间面面垂直的判定，以及二面角的求解，利用向量法是解决二面角的常用方法．