Question

14．已知等差数列{a_n}的前n项和为 S_n，且 a₁=1，S₃=9．数列 {b_n}中 b₁=1，b₃=20
（Ⅰ）若数列 $\left\{{\frac{b_n}{a_n}}\right\}$是公比q＞0的等比数列，求 a_n，b_n
（Ⅱ）在（I）的条件下，求数列 {b_n}的前n项和 T_n．

Answer 1

分析 （I）通过等差数列的等差中项的性质可得a₂=3，结合a₁=1得a_n=2n-1，进而可得数列$\left\{{\frac{b_n}{a_n}}\right\}$的公比q=2，计算即可；
（II）结合（I），利用错位相减法即得结论．

解答 解：（I）由题意得S₃=3a₂=9，∴a₂=3，
又∵a₁=1，∴d=2，∴a_n=2n-1，
∴$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$=1，$\frac{{b}_{3}}{{a}_{3}}$=$\frac{20}{5}$=4，
∴数列$\left\{{\frac{b_n}{a_n}}\right\}$的公比q=2，
∴$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=2^n-1，∴b_n=2^n-1a_n=（2n-1）•2^n-1；
（II）由（I）得b_n=（2n-1）•2^n-1，
∴T_n=1×2⁰+3×2¹+5×2²+…+（2n-1）•2^n-1，
∴2T_n=1×2¹+3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ，
两式相减，得-T_n=1+2×2¹+2×2²+…+2×2^n-1-（2n-1）×2ⁿ，
∴T_n=（2n-1）×2ⁿ-1-$\frac{4×（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$=（2n-3）×2ⁿ+3．

点评 本题考查等差、等比数列的性质，利用错位相减法求前n项和是解决本题的关键，属于中档题．