Question

8．设函数f（x）=x²+4x-1．
（1）若对一切实数x，f（x）+（m-1）x²-（4+m）x＜0恒成立，求m的取值范围；
（2）若对于任意x∈[-1，2]，f（x）＜-m+5恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）问题转化为mx²-mx-1＜0恒成立，通过讨论m的范围，结合二次函数的性质，求出即可；
（2）问题转化为m＜（-x²-4x+6）_min，x∈[-1，2]，根据二次函数的性质，求出其最小值即可．

解答 解：（1）f（x）+（m-1）x²-（4+m）x＜0，
即mx²-mx-1＜0恒成立，
当m=0时，-1＜0，显然成立；
当m≠0时，应有m＜0，△=m²+4m＜0，
解得-4＜m＜0．
综上，m的取值范围是（-4，0]．
（2）由已知：任意x∈[-1，2]，f（x）＜-m+5，
得x²+4x-1＜-m+5，x∈[-1，2]恒成立，
即m＜-x²-4x+6，x∈[-1，2]恒成立，
即m＜（-x²-4x+6）_min，x∈[-1，2]
所以m＜-6．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数恒成立问题，考查转化思想，是一道中档题．