Question

18．已知函数f（x）=x²-ax，g（x）=b+aln（x-1），存在实数a（a≥1），使y=f（x）的图象与y=g（x）的图象无公共点，则实数b的取值范围为（　　）

• A． [1，+∞）
• B． [1，$\frac{3}{4}+ln2$）
• C． [$\frac{3}{4}+ln2，+∞$）
• D． （-$∞，\frac{3}{4}+ln2$）

Answer 1

分析 若y=f（x）的图象与y=g（x）的图象无公共点，则等价为f（x）-g（x）＞0或f（x）-g（x）＜0恒成立，利用参数分离法，转化为求函数的最值，构造函数，求函数的导数，利用导数进行求解即可．

解答 解：若y=f（x）的图象与y=g（x）的图象无公共点，
则等价为f（x）-g（x）＞0或f（x）-g（x）＜0恒成立，
即x²-ax-b-aln（x-1）＞0或，x²-ax-b-aln（x-1）＜0恒成立，
即x²-ax-aln（x-1）＞b或x²-ax-aln（x-1）＜b恒成立，
设h（x）=x²-ax-aln（x-1），则函数h（x）的定义域为（1，+∞），
函数的导数h′（x）=2x-a-$\frac{a}{x-1}$=$\frac{2x（x-\frac{a+2}{2}）}{x-1}$，
当a≥1时，$\frac{a+2}{2}$≥$\frac{3}{2}$，
故x∈（1，$\frac{a+2}{2}$）时，h′（x）＜0，
x∈（$\frac{a+2}{2}$，+∞）时，h′（x）＞0，
即当x=$\frac{a+2}{2}$时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值h（$\frac{a+2}{2}$）=$-\frac{{a}^{2}}{4}+1-aln\frac{a}{2}$，
设G（a）=h（$\frac{a+2}{2}$）=$-\frac{{a}^{2}}{4}+1-aln\frac{a}{2}$，
则G（a）在[1，+∞）上为减函数，
∴G（a）的最大值为G（1）=$\frac{3}{4}+ln2$，
故h（x）的最小值h（$\frac{a+2}{2}$）≤$\frac{3}{4}+ln2$，
则若x²-ax-aln（x-1）＞b，
则b＜$\frac{3}{4}+ln2$，
若x²-ax-aln（x-1）＜b恒成立，则不成立，
综上b＜$\frac{3}{4}+ln2$，
故选：D

点评 本题主要考查函数的相交问题，构造函数，利用参数分类法，结合导数研究函数的最值是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．