题目内容
3.如图,已知四边形ABCD内接于半径为3的圆,且AB是圆的直径.经过点D的圆的切线与BA的延长线交于点M.∠BMD的平分线分别交AD,BD于点E,FAC,BD交于点P.(1)证明:DE=DF
(2)若DM=3$\sqrt{3}$,AP=2CP=2$\sqrt{3}$,求BP的长.
分析 (1)证明:DE=DF,只要证明∠DEF=∠DFE;
(2)先求出∠ABD=30°,BD=ABcos∠ABD=3$\sqrt{3}$,再利用相交弦定理,即可求BP的长.
解答 (1)证明:∵MD是切线,AD是弦,
∴∠ADM=∠ABD,
∵∠BMF=∠DMF,
∴∠BMF+∠ABD=∠ADM+∠DMF,
∵∠DEF=∠ADM+∠DMF,∠DFE=∠BMF+∠ABD,
∴∠DEF=∠DFE,
∴DE=DF;
(2)解:连接OD,则
∵MD是切线,
∴OD⊥MD,
∵OD=3,MD=3$\sqrt{3}$,
∴∠MOD=60°,∴∠ABD=30°,
Rt△ABD中,AB=6,∴BD=ABcos∠ABD=3$\sqrt{3}$,
∵四边形ABCD内接于圆O,
∴AP•PC=BP•PD,
∴2$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=BP•(3$\sqrt{3}$-BP),
∴BP=$\sqrt{3}$或2$\sqrt{3}$,
∵BP>CP,∴BP=2$\sqrt{3}$.
点评 本题考查圆的切线的性质,考查相交弦定理,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目
18.已知函数f(x)=x2-ax,g(x)=b+aln(x-1),存在实数a(a≥1),使y=f(x)的图象与y=g(x)的图象无公共点,则实数b的取值范围为( )
A. | [1,+∞) | B. | [1,$\frac{3}{4}+ln2$) | C. | [$\frac{3}{4}+ln2,+∞$) | D. | (-$∞,\frac{3}{4}+ln2$) |
15.已知函数f(x)=3x(x∈R)的反函数为g(x),则g($\frac{1}{2}$)=( )
A. | -log32 | B. | log32 | C. | -log23 | D. | log23 |
10.如图,点B是⊙O的半径OA的中点,且CD⊥OA于B,则tan∠CPD的值为( )?
A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | C. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | D. | $\sqrt{3}$ |