Question

13．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若A、B是椭圆C上的两动点，O为坐标原点，OA、OB的斜率分别为k₁，k₂，问是否存在非零常数λ，使k₁•k₂=λ时，△AOB的面积S为定值，若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$、2b=2、a²=b²+c²，计算即得结论；
（Ⅱ）设直线AB的方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理、三角形面积计算公式、k₁•k₂=λ可得S_△AOB的表达式，分析表达式、计算即可．

解答 解：（Ⅰ）∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2b=2，a²=b²+c²，
∴a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）结论：存在非零常数λ=-$\frac{1}{4}$，使k₁•k₂=-$\frac{1}{4}$时，△AOB的面积S为定值1．
理由如下：
设存在这样的常数λ，使k₁•k₂=λ时，S_△AOB为定值．
设直线AB的方程为：y=kx+m，且AB与$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的交点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵k₁•k₂=λ，∴λx₁x₂-y₁y₂=0，
∴-λx₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
∴（k²-λ）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0．
将y=kx+m代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，消去y得：
（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
由韦达定理可得：
x₁+x₂=$\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∴（k²-λ）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0可化为：m²=$\frac{4（{k}^{2}-λ）}{1-4λ}$，
∵点O到直线AB的距离为d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$•d•|AB|=$\frac{1}{2}$•$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\frac{1}{2}$•|x₁-x₂|•|m|=$\frac{2\sqrt{（1+4{k}^{2}）{m}^{2}-{m}^{4}}}{1+4{k}^{2}}$，
∴$（\frac{{S}_{△AOB}}{2}）^{2}$=$\frac{（1+4{k}^{2}）{m}^{2}-{m}^{4}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}$
=$\frac{（1+4{k}^{2}）•\frac{4（{k}^{2}-λ）}{1-4λ}-\frac{16（{k}^{2}-λ）^{2}}{（1-4λ）^{2}}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}$
=$\frac{（1+4{k}^{2}）（4{k}^{2}-4λ）（1-4λ）-16（{k}^{2}-λ）^{2}}{（1-4λ）^{2}（1+4{k}^{2}）^{2}}$
=$\frac{-64λ{k}^{4}+（64{λ}^{2}+4）{k}^{2}-4λ}{16{k}^{4}+8{k}^{2}+1}$•$\frac{1}{（1-4λ）^{2}}$，
要使△AOB的面积S为定值，只需$\frac{-64λ}{16}$=$\frac{64{λ}^{2}+4}{8}$=$\frac{-4λ}{1}$，
即只需（1+4λ）²=0，∴λ=-$\frac{1}{4}$，
此时$（\frac{{S}_{△AOB}}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，即S_△AOB=1，
故存在非零常数λ=-$\frac{1}{4}$，此时S_△AOB=1．

点评 本题考查椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，注意解题方法的积累，属于中档题．