Question

6．设函数f（x）=|3x-1|+ax+3．
（1）若a=1，解不等式f（x）≤5；
（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=1时，f（x）=|3x-1|+x+3，分类讨论，去掉绝对值，求得x的范围．
（Ⅱ）化简f（x）的解析式，根据一次函数的单调性与一次项系数符号的关系，求得a的范围．

解答 解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=|3x-1|+x+3．
当$x≥\frac{1}{3}$时，f（x）≤5可化为3x-1+x+3≤5，解之得$\frac{1}{3}≤x≤\frac{3}{4}$；
当$x＜\frac{1}{3}$时，f（x）≤5可化为-3x+1+x+3≤5，解之得$-\frac{1}{2}≤x＜\frac{1}{3}$．
综上可得，原不等式的解集为$\{x|-\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{4}\}$．
（Ⅱ）$f（x）=|3x-1|+ax+3=\left\{\begin{array}{l}（3+a）x+2，（x≥\frac{1}{3}）\\（a-3）x+4．（x＜\frac{1}{3}）\end{array}\right.$
函数f（x）有最小值的充要条件为$\left\{\begin{array}{l}3+a≥0\\ a-3≤0\end{array}\right.$，即-3≤a≤3．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．