题目内容
【题目】已知是抛物线
上任意一点,
,且点
为线段
的中点.
(Ⅰ)求点的轨迹
的方程;
(Ⅱ)若为点
关于原点
的对称点,过
的直线交曲线
于
、
两点,直线
交直线
于点
,求证:
.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见证明
【解析】
(Ⅰ)设,
,根据中点坐标公式可得
,代入曲线方程即可整理得到所求的轨迹方程;(Ⅱ)设
,设
,
,将直线
与曲线
联立可得
;由抛物线定义可知,若要证得
只需证明
垂直准线
,即
轴;由直线
的方程可求得
,可将
点横坐标化简为
,从而证得
轴,则可得结论.
(Ⅰ)设,
为
中点
为曲线
上任意一点
,代入得:
点
的轨迹
的方程为:
(Ⅱ)依题意得,直线
的斜率存在,其方程可设为:
设,
联立得:
,则
直线
的方程为
,
是直线与直线
的交点
根据抛物线的定义等于点
到准线
的距离
在准线
上
要证明
,只需证明
垂直准线
即证轴
的横坐标:
轴成立
成立
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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