题目内容

【题目】已知是抛物线上任意一点,,且点为线段的中点.

(Ⅰ)求点的轨迹的方程;

(Ⅱ)若为点关于原点的对称点,过的直线交曲线 两点,直线交直线于点,求证:

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见证明

【解析】

(Ⅰ)设,根据中点坐标公式可得,代入曲线方程即可整理得到所求的轨迹方程;(Ⅱ)设,设,将直线与曲线联立可得;由抛物线定义可知,若要证得只需证明垂直准线,即轴;由直线的方程可求得,可将点横坐标化简为,从而证得轴,则可得结论.

(Ⅰ)设

中点

为曲线上任意一点 ,代入得:

的轨迹的方程为:

(Ⅱ)依题意得,直线的斜率存在,其方程可设为:

联立得:,则

直线的方程为是直线与直线的交点

根据抛物线的定义等于点到准线的距离

在准线要证明,只需证明垂直准线

即证

的横坐标:

轴成立 成立

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