题目内容
16.已知数列{an}的各项为正值且首项为1,a2=2,Sn为其前n项和.函数f(x)=an•an+2x+a2n+1cosx在x=$\frac{π}{2}$处的切线平行于x轴.(1)求an和Sn.
(2)设bn=log2an+1,数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和为Tn,求证:Tn<1.
分析 (1)求函数的导数,根据导数的几何意义建立方程关系,判断数列为等比数列,求出公比即可求an和Sn.
(2)求出bn=log2an+1的表达式,利用裂项法进行求和,即可证明不等式.
解答 解:(1)由f(x)=an•an+2x+a2n+1cosx知f′(x)=an•an+2-a2n+1sinx,
∵f(x)=an•an+2x+a2n+1cosx在x=$\frac{π}{2}$处的切线平行于x轴,
∴f′($\frac{π}{2}$)=0,
即an•an+2-a2n+1sin$\frac{π}{2}$=an•an+2-a2n+1=0,
即an•an+2=a2n+1,
∴{an}是等比数列,公比q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=2$,
∴an=a1qn-1=2n-1,${S}_{n}=\frac{{a}_{1}(1-{q}^{n})}{1-q}=\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2n-1,
(2)由(1)知an+1=2n,
∴bn=log2an+1=log22n=n.
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$.
∴Tn=$1-\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+$$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$<1,
点评 本题主要考查数列通项公式和前n项和的计算,以及数列求和,利用裂项法是解决本题的关键.
练习册系列答案
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