题目内容

【题目】半正多面体亦称阿基米德多面体,是由边数不全相同的正多边形为面的多面体,体现了数学的对称美.如图,将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,如此共可截去八个三棱锥,得到一个有十四个面的半正多面体,它们的棱长都相等,其中八个为正三角形,六个为正方形,称这样的半正多面体为二十四等边体.若棱长为的二十四等边体的各个顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为(

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

由已知根据该几何体的对称性可知,该几何体的外接球即为底面棱长为2,侧棱长为的正四棱柱的外接球,利用勾股定理得到关于的方程,进而求解即可.

由已知根据该几何体的对称性可知,该几何体的外接球即为底面棱长为2,侧棱长为的正四棱柱的外接球,

所以,所以,

故该二十四等边体的外接球的表面积,

故选:A

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