题目内容
【题目】已知函数
．
（1）求证：当
时，
在
上存在最小值；
（2）若
是的零点且当
时，
，求实数
的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）将
代入，对函数进行求导，根据零点存在定理可得
在
上有唯一零点
，判断单调性即可得结果；
（2）由
为函数零点，将
用
表示可得
，当
时，通过求导可得
在
上单调递增，从而可得结果；
，则取
，验证
，即时，不满足题意，综合可得结果.
（1）的定义域为
.
当时，
，
.
因为当
时，
，
所以在上单调递增，
又
，
.
所以在上有唯一零点，
且当
时，
；
当
时，
.
所以在
上单调递减，在
上单调递增，
所以在上存在最小值
.
（2）因为是函数
的零点，
所以
，即
，即
，
所以，所以
．
①若，则当
时，
．
所以在上单调递增，
所以当时，
，
所以满足题意．
②若，则取，
因为
，且
．
所以不满足题意．
综上，的取值范围．
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【题目】小军的微信朋友圈参与了“微信运动”，他随机选取了40位微信好友（女20人，男20人），统计其在某一天的走路步数．其中，女性好友的走路步数数据记录如下：
5860 8520 7326 6798 7325 8430 3216 7453 11754 9860
8753 6450 7290 4850 10223 9763 7988 9176 6421 5980
男性好友走路的步数情况可分为五个类别（说明：a~b表示大于等于a，小于等于b）
A（0~2000步）1人， B（2001-5000步）2人， C（5001~8000步）3人，
D（8001-10000步）6人， E（10001步及以上）8人
若某人一天的走路步数超过8000步被系统认定为“健康型”否则被系统认定为“进步型”．
（I）访根据选取的样本数据完成下面的2×2列联表，并根据此判断能否有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关？
健康型 | 进步型 | 总计 | |
男 | 20 | ||
女 | 20 | ||
总计 | 40 |
（Ⅱ）如果从小军的40位好友中该天走路步数超过10000的人中随机抽取3人，设抽到女性好友X人，求X的分布列和数学期望
．
附：
．
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