题目内容
【题目】已知抛物线(
),直线
与抛物线
交于
(点
在点
的左侧)两点,且
.
(1)求抛物线在
两点处的切线方程;
(2)若直线与抛物线
交于
两点,且
的中点在线段
上,
的垂直平分线交
轴于点
,求
面积的最大值.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析:(1)第(1)问,先求出抛物线的方程得到
,再求导求出切线斜率,最后求出抛物线
在
两点处的切线方程.(2)第(2)问,先利用弦长公式求出
,再利用点到直线的距离求三角形的高
,最后写出面积的表达式
,再换元利用导数求它的最大值.
试题解析:
(1)由,令
,得
,所以
,解得
,
,由
,得
,故
所以在
点的切线方程为
,即
,同理可得在
点的切线方程为
.
(2)由题意得直线的斜率存在且不为0,
故设,
,
,由
与
联立,
得,
,
所以,
,
故.
又,所以
,所以
,
由,得
且
.
因为的中点为
,所以
的垂直平分线方程为
,令
,得
,即
,所以点
到直线
的距离
,
所以
.
令,则
,则
,故
.
设,则
,结合
,令
,得
;
令,得
,所以当
,即
时,
.
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